眉頭から眉のライン（丁度眉の下にある骨の部分）の中の部分が時々物凄く痛くなり...

眉頭から眉のライン（丁度眉の下にある骨の部分）の
中の部分が時々物凄く痛くなります。

中が熱を持っていて、はれている様な感じの痛みです。
ひどい時は目をあけているのも辛いくらいです。

一番痛いのは眉頭の部分で押すと涙が出るほど
痛いです。
その症状が出る時はいつも頭痛がひどくなり体が異常に
だるくなり微熱も出ます。

いったい何処がわるいのでしょうか？
何科にいけばいいのでしょうか？

おそらく三叉神経痛でしょう。
三叉神経の枝が顔の表面に出てくる出口が、
ちょうどあなたのおっしゃる痛みの位置と一致します。
そうだとすると、結構効果のある薬もあります。
（もちろん人によって効かない場合もありますが）

大きな病院の、神経内科を受診してみてください。

私も上の方の意見に賛成ですが、もし今まで健康で特にかかりつけの病院がないというなら、市民病院の様な総合病院の受付で症状を言うと「まずこの科へ行くように。」と言ってくれると思います。（私の主人がそうでした）
そのかわり紹介状がないから随分待たされるとは思います。

まず、かかりつけのお医者にいって、紹介してもらうのが１ばんです。